万人模考数学二

类型：试卷工厂

题数：23

总分：150.0分

开始考试

单选题（1-8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

若实数 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math>$ 满足 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mn>3</mn></msup></mrow><msup><mfenced><mrow><mi>ln</mi><mi>x</mi></mrow></mfenced><mi>n</mi></msup></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>a</mi></mfrac><mi></mi></math>$ ，则

A

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>$

B

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mi></mi></math>$

C

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi></mi></math>$

D

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>$

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><munder><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mroot><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mfenced open="|" close="|"><mi>x</mi></mfenced><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mi>n</mi><mi>x</mi></mrow></msup></mrow><mi>n</mi></mroot></math>$ 不可导点的个数为

A

0个

B

1个

C

2个

D

3个

设 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mi>x</mi><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></msubsup><mfenced open="|" close="|"><mrow><mi>sin</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></math>$ ，则

A

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfenced></math>$

B

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>></mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfenced><mi></mi></math>$

C

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo><</mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfenced></math>$

D

当 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math>$ 时 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>></mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfenced></math>$ ，当 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo><</mo><mn>0</mn></math>$ 时 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo><</mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfenced></math>$

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>x</mi></msubsup><msup><mfenced><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><msup><mfenced><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>d</mo><mi>t</mi></math>$ 的拐点的个数为

A

0

B

1

C

2

D

3

设 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>x</mi></msubsup><mfenced><mrow><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></mfenced><mi>f</mi><mfenced><mi>t</mi></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 可导，且 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>f</mi><mo>'</mo></msup><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn></math>$ ，则

A

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mn>0</mn></mfenced></math>$ 是极大值

B

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mn>0</mn></mfenced></math>$ 不是极值，但点 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>F</mi><mfenced><mn>0</mn></mfenced></mrow></mfenced><mi></mi></math>$ 是曲线 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 的拐点

C

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mn>0</mn></mfenced></math>$ 是极小值

D

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mn>0</mn></mfenced></math>$ 不是极值且点 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>F</mi><mfenced><mn>0</mn></mfenced></mrow></mfenced><mi></mi></math>$ 不是曲线 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 的拐点

方程 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo> </mo><msup><mi>y</mi><mo>''</mo></msup><mo>-</mo><mn>3</mn><msup><mi>y</mi><mo>'</mo></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi></math>$ 的特解形式 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>*</mo><mo>=</mo></math>$

A

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi></math>$

B

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>$

C

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>$

D

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mfenced><mrow><mi>A</mi><mi>cos</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced></math>$

下列正确的个数为
①设x为n维列向量，且 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>x</mi><mi>T</mi></msup><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>$ ，若 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>E</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><msup><mi>x</mi><mi>T</mi></msup></math>$ 则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="|" close="|"><mi>A</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 。
② $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mi>B</mi><mrow><mi>m</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>E</mi></math>$ 是n阶单位矩阵，若 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>E</mi></math>$ ，则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 仅有零解。
③设向量组Ⅰ： $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>α</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>3</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mi>r</mi></msub></math>$ ，可由Ⅱ： $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>β</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>β</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>β</mi><mi>s</mi></msub></math>$ 线性表示，则当 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi><mo>></mo><mi>s</mi></math>$ 时，Ⅰ必线性相关。
④设A、B、C均为n阶矩阵，若 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>C</mi></math>$ ，且B可逆，则C的列向量组与A的列向量组等价。

A

1个

B

2个

C

3个

D

4个

设 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]"><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]"><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mi></mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]"><mtable><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mi></mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>4</mn></msub><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]"><mtable><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mi></mi></math>$ ，则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>1</mn></msub><mi></mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>2</mn></msub><mi></mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>3</mn></msub><mi></mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>4</mn></msub><mi></mi></math>$ 中不能与对角阵相似的是

A

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>1</mn></msub></math>$

B

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>2</mn></msub><mi></mi></math>$

C

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>3</mn></msub><mi></mi></math>$

D

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>M</mi><mn>4</mn></msub><mi></mi></math>$

填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上）

已知两曲线 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 与 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mrow><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>tan</mi><mi>x</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>-</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msup><mi>d</mi><mi>t</mi></math>$ 在 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>$ 处的切线相互垂直，则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>n</mi><mo>→</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mi>n</mi><mi>f</mi><mfenced><mfrac><mn>2</mn><mi>n</mi></mfrac></mfenced><mo>=</mo><mi></mi></math>$ ______。

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 的反函数是 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>φ</mi><mfenced><mi>y</mi></mfenced></math>$ ，且 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><msubsup><mo>∫</mo><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></msubsup><msup><mi>e</mi><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup></msup><mo>d</mo><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>$ ，则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>φ</mi><mo>''</mo></msup><mfenced><mn>1</mn></mfenced><mo>=</mo></math>$ __________。

设 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></math>$ 连续，且 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>+</mo><munder><mo>∬</mo><mi>D</mi></munder><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>u</mi><mi>d</mi><mi>v</mi></math>$ ，其中D是由 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>,</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>$ 所围成的区域，则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo></math>$ __________。

若函数 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></math>$ 满足 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mn>2</mn></msup><mi>z</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi></mi></math>$ ，且 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></math>$ ，又 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>f</mi><mi>y</mi><mo>'</mo></msubsup><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math>$ ，则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo></math>$ __________。

星形线 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msup><mi>cos</mi><mn>3</mn></msup><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msup><mi>sin</mi><mn>3</mn></msup><mi>t</mi></mtd></mtr></mtable></mfenced><mi></mi></math>$ 的周长为__________。

设 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><msub><mfenced><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mfenced><mrow><mn>3</mn><mo>×</mo><mn>3</mn></mrow></msub><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>A</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>$ 是 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math>$ 的代数余子式；若 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>A</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mfenced><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></mfenced></math>$ ，则 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="|" close="|"><mi>A</mi></mfenced><mo>=</mo><mi></mi></math>$ _______。

简答题（15-23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

$<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mfrac><mrow><msup><mi>x</mi><mi>x</mi></msup><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>ln</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mi></mi></math>$

设 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>,</mo><mo> </mo><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 在区间 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mrow><mo>-</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>a</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mi></mi></math>$ 上连续， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 为偶函数，且 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 满足条件 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>A</mi></math>$ （A为常数）
（Ⅰ）证明 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>-</mo><mi>a</mi></mrow><mi>a</mi></msubsup><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>d</mo><mi>x</mi></math>$ $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mi>A</mi><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mi>a</mi></msubsup><mi>g</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>d</mo><mi>x</mi></math>$ ；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论计算定积分 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac></msubsup><mfenced open="|" close="|"><mrow><mi>sin</mi><mi>x</mi></mrow></mfenced><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>tan</mi><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mo>d</mo><mi>x</mi><mi></mi></math>$ 。

设函数 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></math>$ 在闭区间 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>$ 上连续，在开区间 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>$ 内可导，且有 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mfrac><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mfrac></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced></mrow></msup><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo>d</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi></mi></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mn>1</mn></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ ，证明至少存在一点 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ξ</mi><mo>∈</mo><mfenced><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>$ ，使得 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>ξ</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>tan</mi><mi>ξ</mi><mo>·</mo><mi>f</mi><mo>'</mo><mfenced><mi>ξ</mi></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math>$ 。

已知 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></mfenced></math>$ 具有连续的二阶偏导数， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>2</mn></math>$ 是 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></mfenced></math>$ 的极值， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>z</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>f</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math>$ ，求 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><menclose notation="right"><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mn>2</mn></msup><mi>z</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac></menclose><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></msub><mi></mi></math>$ 。

已知一抛物线通过x轴上的两点 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo> </mo><mi>A</mi><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>B</mi><mfenced><mrow><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>$ 。
（Ⅰ）求证两坐标轴与该抛物线所围成图形的面积等于 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>x</mi></math>$ 轴与该抛物线所围图形的面积；
（Ⅱ）计算上述两平面图形绕 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>x</mi></math>$ 轴旋转一周所产生的两旋转体体积之比。

已知： $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>t</mi></mfenced><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow><mfrac><mn>2</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>πt</mi><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msup></mrow></msup><mo>+</mo><munder><mo>∬</mo><msub><mi>D</mi><mi>t</mi></msub></munder><msqrt><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mi>f</mi><mfenced><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>σ</mi></math>$ ，其中 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>D</mi><mi>t</mi></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><menclose notation="right"><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></menclose><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup><mo><</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mfenced><mrow><mi>t</mi><mo>></mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math>$ ，求 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>t</mi></mfenced></math>$ 的表达式。

设 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><munderover><mo>∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover><msup><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>k</mi></msup><mfrac><msup><mi>x</mi><mi>k</mi></msup><mi>k</mi></mfrac></math>$
证：当n为奇数时方程 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mfenced><mi>x</mi></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math>$ 恰有一实根；当n为偶数时方程无实根。

已知 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>α</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>3</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfenced></math>$ 为4阶方阵， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>β</mi></math>$ 的通解为 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="[" close="]"><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mo>+</mo><mi>k</mi><mfenced open="[" close="]"><mtable><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mfenced><mi></mi></math>$ ，其中 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><msub><mi>α</mi><mn>3</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mi>β</mi><mo>+</mo><msub><mi>α</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>$ $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>γ</mi><mo>=</mo><msub><mi>α</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><mn>3</mn><msub><mi>α</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mn>5</mn><msub><mi>α</mi><mn>3</mn></msub></math>$ ，求：
（Ⅰ） $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>α</mi><mn>1</mn></msub></math>$ 能否由 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>α</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>3</mn></msub></math>$ 线性表示；
（Ⅱ） $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>α</mi><mn>4</mn></msub></math>$ 能否由 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>α</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>2</mn></msub><mo>,</mo><msub><mi>α</mi><mn>3</mn></msub></math>$ 线性表示；
（Ⅲ）求 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>γ</mi></math>$ 的通解。

已知三元二次型 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>x</mi><mi>T</mi></msup><mi>A</mi><mi>x</mi></math>$ 经正交变换为 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msubsup><mi>y</mi><mn>1</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mi>y</mi><mn>2</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mi>y</mi><mn>3</mn><mn>2</mn></msubsup></math>$ ，又知 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math>$ 满足矩阵方程 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced open="[" close="]"><msup><mfenced><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>A</mi></mrow></mfenced><mo></mo></msup></mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mi>B</mi><msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>$ $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>E</mi></math>$ ，且 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo></mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>α</mi></math>$ ，其中 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>T</mi></msup></math>$ ， $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>*</mo></math>$ 为 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>$ 的伴随矩阵，求次二次型 $<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>x</mi><mi>T</mi></msup><mi>B</mi><mi>x</mi></math>$ 的表达式。

已答未答

单选题（1-8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）（总分32分，共8题）

填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上）（总分24分，共6题）

简答题（15-23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（总分94分，共9题）